被服率と透過率 - ～の基礎

${ \displaystyle S_{n+1} = S_n + (1 - \frac{S_n}{S})×\frac{S}{k} }$

（１）　紙片1個の面積はσ＝Ｓ/Ｎ　です。第1層の被覆率Ｃ_１はいくつですか？透過率Ｔ_１は？
${ \displaystyle C_1 = \frac{\sigma}{S}=\frac{1}{N} \\ T_1 = 1-C_1= 1- \frac{\sigma}{S}=1-\frac{1}{N} }$
（２）　次に第2層を通過します。この時、第1、第2層を合わせた被覆率Ｃ_２は2枚の紙片が重なるかどうかで違いますが、平均のＣ_２、Ｔ_２は幾つでしょう？
${ \displaystyle C_2 =C_1+ (1-C_1) \times \frac{\sigma}{S} =(1-\frac{\sigma}{S})\times C_1+\frac{\sigma}{S} \\ = (1-\frac{\sigma}{S})\frac{\sigma}{S}+\frac{\sigma}{S} = (1-\frac{1}{N})\frac{1}{N}+\frac{1}{N} \\ T_2 = 1- C_2 = 1-\frac{\sigma}{S}-(\frac{\sigma}{S})^2 }$
（３）　こうしてＮ枚の紙片を巻いた時の透過率　Ｔ_Ｎ　はいくつですか？
${ \displaystyle T_N=1-C_N \\ C_{N}=C_{N-1} + (1-C_{N-1}) \times \frac{\sigma}{S}\\ =C_{N-1} + (1-C_{N-1}) \times \frac{1}{N}\\ =C_{N-1} \times (1-\frac{1}{N}) + \frac{1}{N}\\ C_N=C_{N-1} \times T_1 + C_1\\ C_{N-1}=C_{N-2} \times T_1 + C_1\\ C_N-C_{N-1}=T_1(C_{N-1}-C_{N-2})\\ C_2-C_1=T_1(C_1-C_0)\\ C_N=C_1+T_1^{N-1}(C_1-C_0)\\ =\frac{1}{N} + (1-\frac{1}{N})^{N-1}\frac{1}{N}=\\ }$
http://www.ioa.s.u-tokyo.ac.jp/kisohp/STAFF/nakada/Jugyo/J=Transfer(I).ppt